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马克思与数学

时间:2017-06-20 08:47来源:未知 作者:[德]卡尔-埃里希·福 点击:
张凤凤 周思成 译,徐 洋 朱 毅 校

在本文中,我要探讨1857到1882年间马克思对数学问题,尤其是高等代数学的集中研究,以及这一研究对马克思经济学说产生的影响。
通过这场讲座,我希望向各位证明,这里所讨论的主题对于马克思《资本论》的创作过程而言具有极为重要的意义。不过,我是不是引起了过高的期待,或者把话说的太满了呢?马克思从经济学角度研究数学,这在MEGA第二部分15卷中的14卷里,不论是在引言,还是在文本历史,亦或是在名目索引中,都没有得到反映,这毕竟是一个无法忽视的事实。在某些经济学卷次中,如在第二部分4.1卷以及第3卷——这一卷在这里正由马列部翻译成中文,在其中有大量重要的数学内容——中,编辑者甚至说明,在编辑完成的文本中,不会用文字表述代替数学符号,而是原样保留。在这些卷次的编辑说明中,对最简单的数学计算符号进行了解释,例如+,-,>,<,而这些符号对于每一位读者而言,都是早从学生时代就熟悉的。
只有在最近出版的第二部分卷次4.2(2012年)中,情况发生了变化。在这一卷中,编辑者指出了,本卷发表的文本提供了重要的线索,证明马克思是出于经济学目的而从事数学研究,并且,马克思已经着手将他的核心观点通过数学加以表述。
马克思本人很少向我们揭示他进行数学研究的具体意图。只有一次,也就是在1858年,马克思指出,这和他在《政治经济学批判大纲》中的经济学理论有关,他给恩格斯写信说:
 
 “(我)在制定政治经济学原理时……,把代数迅速地温习一遍。”
 
而在后来写给恩格斯的其他书信中,马克思一再提到,有那么几天,几星期甚至好几个月的时间,马克思无法全身心地投入经济学写作,他就把这些时间用来研究微分学。数学是马克思业余消遣,打发时间的一种方式么?马克思的女婿,保尔·拉法格在1891年也回忆说,马克思有“一种独特的方式”来忘记病痛和烦恼,那就是微积分。
然而,马克思在1857至1881年间创作的经济学文本——其中很大一部分是在MEGA2中首次发表——所传达的却是另外一种信息。这些文本告诉我们,马克思当时显然是打算将数学运用于经济学,不过不是简单的代数运算(马克思不会从事简单的运算),而是要在这些经济学数值之间找出普遍适用的规律,如果可能的话还打算用来精确计算动态的经济学数值,以及对经济学概念(价值—剩余价值—利润—平均利润)进行逻辑推导(转化)——这对于马克思来说也相当重要。因为马克思总是注意自然科学和社会科学的统一性,在这两个学科之间确立一种合理的,因而也是经得起推敲的研究方法上的类比,对马克思而言应该是一大成就。与马克思的《大纲》相关的研究成果包括一系列阐述剩余价值(S)、生产阶段(p)、年生产时间(Z)、流通时间(c)和周转次数(q´)之间关系的公式。马克思在这里研究的是价值和剩余价值的最大限额的数学问题。马克思在阐述各个量之间的关系(比如必要劳动和剩余劳动之间的关系、生产时间和流通时间之间的关系)时一再利用未知数x和y。马克思在《政治经济学批判大纲》中认为,资本预付和资本回流的关系
 
“应该用一个简单的等式来解决,这一点我们以后再谈。其实这个问题并不属于这里研究的范围。但是从以后要谈的信用问题来看,这个问题是很重要的。” 
 
1862年10—11月,马克思在1861—1863年经济学手稿的第ⅩⅤ笔记本中写下了他对高数的期望:
 
“资本不是简单的数字。它不是简单的商品,而是自乘的商品;不是简单的量,而是量的比例。它是作为本金、作为既定的价值同作为剩余价值的它自己的比例。C的价值(按一年计算)等于C(1+x(1))1或C+x(C)。正像用简单的计算方法不可能理解或推算出ax = n等式中的x一样,也无法理解或推算出自乘的商品,自乘的货币,资本。”
 
今天在座的各位《资本论》专家都了解,马克思在劳动中也发现了一种自乘的关系:复杂劳动是简单劳动的自乘。如果诸位熟悉数学,从上述引文中就可以看出,马克思实际提到了应用数学函数等式的可能性。两个数值都是变量,但其中的一个由另一个决定,即y=f(x)。
1862-63年间,马克思翻阅了伦敦大英博物馆里的数学文献,在工作室或者其他空闲地方,他摆上了一摞代数学教科书,并在这些书里留下了清晰的阅读痕迹,包括许多旁注、对整个句子划线或者在定理下划线,他对其中一些做了摘录,并在经济学草稿中引用了这些摘录,只是很少注明出处。他对那些作者和书名并不感兴趣,而是关注逻辑链条或者说精确的计算路径。因此,他利用的是在大学中常见的教材,而不是专业论文。(我提醒大家回忆一下,我在《危机笔记》的摘录中就此说过的观点:马克思对作者和报纸均不感兴趣,他关注的是事实和人们处理这些事实的方式。马克思已经认识到,他必须研究这些领域,他也愿意这样做)。例如,1863年1—2月,在1861—1863年经济学手稿的第ⅩⅩ笔记本中,马克思援引法国数学家路易 • 本杰明·弗朗克尔:
 
 “资本(C)最初等于c(不变资本)+v(可变资本)。
产品P或C′,即已实现的资本(因为资本只有成为增殖的价值,成为原价值加上剩余价值时才实现),等于不变资本、可变资本加剩余价值,后者等于X。因此,我们得出下列方程式:
(1)C=c+v。
(2)C′或P=c+(v+x)。
如果在第二个方程式中,我们假设x=0,那么,C′或P=c+v,即等于C。这就是说,在这种场合,产品的价值与原有资本的价值没有区别;因此,资本没有实现为资本。
如果我们列一个方程式y=f(x),这里f是x的函数,而且x变为x+h,那么,从y=f(x)可以得出Y=f(x+h)。“很明显,如果Y=f(x+h),h等于零,那么,Y就变成y。”(弗朗克尔《微分学》)”
    
马克思论证时多次用到英国物理学家伊萨克·牛顿的流数术(即函数计算和微积分),却没有提到牛顿。在马克思写于1863年的第六章《直接生产过程的结果》(第一册第Ⅰ稿)中,就有这样一处具有重要的方法论意义的文本,而它在1866-67年间没有被《资本论》第一卷的付排稿采用:
 
某个价值额“所以变成资本,是由于它的量会增大,由于它会转化为一个变动的量,由于它从一开始就是一个会产生流数的流动量。[……]无论怎样达到这一点,这种x转化为x+Δx的实际程序决不会使这个过程的目的和结果发生任何改变。当然,即使没有资本主义生产过程,x也可以转化为x+Δx[……]x转化为x+Δx的过程的这个目的,表明了研究必须经历的途径。这个式子必须是变量的函数,或者在过程中转化为变量的函数。[……]而问题就在于找出这个组成部分,同时指出通过什么中介过程使原来的常量变为变量。” 
 
在马克思1865年春写的第二册第Ⅰ稿中也有一处与此类似的文字:
 
“在‘100塔勒资本和10塔勒剩余价值’这种说法中,这110塔勒表现为本身有差别的、内容不同的、表示资本主义关系的价值额,表现为100塔勒同作为资本的本身的关系,因为这是对10塔勒,即对从资本分出来的增长额的关系;在这种说法中,使100塔勒成为10塔勒的生产者的(生产过程的)媒介被消除了,完全被扬弃了。它仅仅还以这样的形式存在:100塔勒是基本额,10塔勒是它的增长额,它的补充额,派生额。……10塔勒同样地既可以构成总额的110,也可以构成预付资本总额的110。把最初额减掉,不管怎样的10塔勒都形成增长额,这增长额本身与流动量并无不同。完全象在积分学中一样,只要dx,dy不再起作用,并且一个数中的过程停下来,dx,dy作为增量就会消失。”
 
1863年1月,马克思在1861—1863年经济学手稿第ⅩⅧ笔记本中分析了安东·埃利泽·舍尔比利埃。1840年,这位瑞士经济学家和李嘉图主义者在他的著作《富或贫》中用代数方法研究了总产品(P,三个生产者分别是P、P´和P´´)、使用的资本(C)、实际消费的资本(c,三个生产者分别是c、c´和c´´)、利润(π)、利润对资本的关系(r)之间的比例,以及这些比例对价格的影响。这种阐述方式在当时很少见,也不为人所理解。因此,马克思指责舍尔比利埃的认识目的和叙述方式非常不历史:
 
“他提出的利润率的公式,或者说是用数学来表示通常所理解的利润,本身并不包含任何规律;或者说甚至是绝对错误的,尽管他对这个事物有某种模糊的概念,接近于对它的了解。”
 
然而,马克思在此也清楚地表明了他自己的标准,以及他是如何看待为什么要在经济学中应用数学这一问题的:重要的不是把此前以文字加以表述的经济关系转换为公式,马克思在信中认为这是同义反复,多此一举。重要的是在精确公式的辅助下,找出经济领域中的具有规律性的关系。这样,有了公式的极大助益,人们就能在最小的空间上审视和讨论这个领域。这一点并不是什么新东西。早在1826年,德国经济学家约翰·亨利希·杜能就已经确信,“代数计算”一旦应用于研究对象,便能够发现普遍的规律。
1861年,马克思相信,自己在“数学上”毫无疑问是正确的。在马克思1861年底写《政治经济学批判》第Ⅲ笔记本中,在“2. 绝对剩余价值”的标题下,他加了这样一个评注:
 
“从严谨的数学的角度来看,这里阐述的观点也是正确的。因而,用微分计算,假设y=f(x)+C,其中C是不变量。x变为x+△x,不会改变C的值。因为不变量不发生变化,所以dC=0。可见,不变量的微分是0。”
 
    从1863年1月起,马克思还研究了英国数学家和力学家是怎样区分工具和机器的,他们在何种程度上——他认为是在数学上是合理的——将机器理解为自乘的工具,但是,他批评说,这些数学家对于其质的和历史-经济语境有失考虑。后来,在《资本论》第一卷中,他又强调并大大扩充了这一论证。
1863年夏,马克思鼓励恩格斯像他一样研究微积分:
 
“我认为这对你的军事研究几乎是不可或缺的”, 
 
不过这个建议对于恩格斯来说是多余的。在座各位如果从事过恩格斯论军事战略和军事技术的文章的翻译,就会了解,恩格斯非常重视在这些领域应用数学。他多次称赞法国炮兵的“思维缜密”和“数学天才”,他们“鲜明的语言”和“科学的方法”。很可能恩格斯将著名的德国数学家欧拉视为榜样,欧拉的数学著作在海陆军中得到了广泛的应用。
1864年6月,马克思在信中主动向恩格斯解释了微分学的基本观点。在另一封信中,他又向自己的亲戚莱昂·菲力浦斯说明了人类是怎样从点数走向数字的,对于进入交换的产品的价值估算和货币的产生来说,这是一个不可谓不重要的历史过程。他在这两封信中都没有说明他的数学知识出自何处。
1861—1863年经济学手稿笔记本的多个封面上都写有几何学和三角学的演算。可惜,MEGA2第二部分第3卷(第1-6分册)中,这些数学演算只是在标记描述中才被提到。马克思对英国经济学家和著名的李嘉图批评者赛米尔·贝利的批判,显示这些演算可能跟对“价值实体”的经济学阐述有关。在第ⅩⅤ笔记本上,他说,如果几何学,像这位著名的李嘉图批判者在谈到商品A和B的等同时那样只满足于说,三角形表现在平行四边形上,平行四边形表现在三角形上,那几何学就不可能再前进一步了。马克思跟物理学家牛顿一样,谈论的是使事物可以相互比较的本质上的同一。在1864年的札记本中也有几页几何和三角学的演算——而且挨着单调数列、简单代数微分、高次幂二项式以及有关资本价值构成的公式、计算和有关资本有机构成改变时利润率的公式、计算。
对此,我想强调的是,我们对马克思写下这些数学论证的地方给予了比此前大得多的关注,在MEGA中这一点备受忽视。这种地方不仅表明了时间上的联系,而且也显示出了思路上的关联,相似性和启发,等等。马克思绝大可不必将自己对数学的思考写在1861-63年手稿笔记本的封面或者空白页上。他本来可以用散页来写,然后把它们归入更早的数学阐述。但马克思显然希望在数学论证和经济学手稿之间留下“有形的联系”,在这里是和1861-63年手稿,在别处则是与1868年或者更晚一些的手稿。马克思希望,自己在以后利用这些手稿时也能重温他此前写下这些数学论证的意图。
1864年5月,马克思借给恩格斯一本前面提到过的弗朗克尔的《纯数学完全教程》。几天后,恩格斯在一封信中评价了马克思对这本没有流传下来的书的旁注。由恩格斯的评论,我们得知:马克思只研究过这本书中的代数部分。而这一次,是恩格斯建议马克思继续研究代数学并且将之应用到经济学阐述中去,在恩格斯看来,马克思不应该再停留在这种“非常令人讨厌的”、还有许多错误的计算上:
 
“不管怎样好地利用数字例题来说明,我总觉得这里仅限于用数字,不如用a+b作简单的代数说明来得清楚,这是因为用一般的代数式子更为简单明了,而这里不用一般的代数式子也是不行的。”
    
马克思对数学的研究还反映在他的政治评论上。他喜欢在演说或文章中使用和数学相关的习语(例如,“具有数学精确性”,“在数学上完全准确”,“正如数学家所说的”,等等)。1861年,他在对美国内战的评论中,将英国报纸反对北方各州的贫乏论据比作“数学级数的公式”,“在一定的差距上重复着,很少有变异或组合的技巧”。不过,在马克思那里还有一些更加特别的言论,例如我在关于“六册计划”的讲座中提到的:马克思打算在必要时设第一分册的稿酬的最小值为0。
1866年,马克思认为自己已经非常熟悉数学领域,可以做出这样的评价:虽然法国哲学家奥古斯特·孔德作为数学家要比黑格尔强,但是从更高的角度看,黑格尔超越了他。恩格斯也非常相信马克思的数学造诣,一年前,恩格斯就曾对德国社会批判哲学家弗里德里希·阿尔伯特·朗格(此人我在关于“新陈代谢”一讲中提到过)说,马克思精通数学和哲学,他可能是唯一能够出版黑格尔数学研究手稿的人。
我们在《资本论》第一卷第一版中也能够找到马克思研究微分学的线索。牛顿的“增加值”(增长额)这一重要概念,甚至在剩余价值理论中占据中心地位;转化为劳动力的资本被看作决定性的“流动量”:
 
“v + m = v + Δv(v加v的增长额)”。
 
马克思在第3章中提出了计算剩余价值率的一个公式,但是,他对这一表述还不太满意,所以,在第5章他又回到了这一问题,在那里提出了“剩余价值率的各种公式”。他认为,这些公式在“概念上是严格的”,因为它们抓住了本源的关系。事实上,即便这些公式还“不是有意识地制定的”,类似的东西在古典政治经济学家那里就已经存在了。但是,在他们那里,这些“派生的公式”,因而也是不够严谨的公式,会导致错误的结论。在马克思1863年写的1861-63年经济学手稿的第ⅩⅩ笔记本上,马克思已经提出了核心的论证。在这里,我们可以找到马克思后来在70年代广泛研究函数和导函数概念的根源。在这两处文本,即在《资本论》和1861-63年手稿中,马克思都将剩余劳动在数学上表述为必要劳动的一个函数。
无论如何,马克思感到他的著作中的好多地方都可以与数学相类比,比如在谈到虚拟值的后面隐藏着真实的关系时,谈到同一术语表示不同的含义时,以及谈到中介的层面时:
“要解决这个表面上的矛盾,还需要许多中项,就像从初等代数的角度来看,要了解 0(0)可以代表一个真实的量需要很多中项一样。”
 
马克思在《资本论》第1卷论述资本积累的一般规律的导言中,马克思指出,“执行职能的资本”每年都获得一个“增值额”。在这里马克思已经在考虑,如何在数学上表述,在一定年份后单个资本只是由积累的剩余价值组成。
 
但在生产的巨流中,全部原预付资本,与直接积累的资本即重新转化为资本……的剩余价值或剩余产品比较起来,总是一个近于消失的量(数学意义上的无限小的量)。
 
在接下来的1867—1868年的第二、三册手稿中,“执行职能的资本”(funktionierendes Kapital)这一概念频繁出现。从语源学上看,这个词来源于数学,马克思指的是每个单位时间内实际在增殖的资本,也就是说部分预付固定资本——这部分比如说每年完成价值转移,和预付可变资本——这部分资本每年创造了新价值。“执行职能的资本”在价值上说明了从“真实的”成本价格到“资本主义的”成本价格的过程(c + v → c + v + m或者f → f´)。马克思的这一阐述方式在概念上是新的大胆尝试。但是与早先的论述产生了矛盾。“执行职能的资本”这个带有企业经济学性质的术语,与“发挥作用的资本”(fungierendes Kapital)和“执行职能的资本家”(funktionierender Kapitalist)这一对社会学概念不一致,而这对概念在1864—1865年第三册“主要手稿”中决定着马克思有关社会关系物化和颠倒的理念。这一概念还与作为商品资本、生产资本或货币资本“发挥职能”的资本不协调。在马克思的论述中出现了概念上的不一致,这是应该加以消除的。
跟前面的手稿一样,在第一卷第一版中也反复谈到生产过程中的准确的数学值和数学比例,甚至谈到了“比例数或比例的铁的规律”。马克思在关于相对剩余价值的生产一章中写道:
 
“因此,工场手工业的分工不仅使社会总体工人的不同质的器官简单化和多样化,而且也为这些器官的数量大小,即为从事每种专门职能的工人小组的相对人数或相对量,创立了数学上固定的比例。工场手工业的分工在发展社会劳动过程的质的组成的同时,也发展了它的量的规则和比例性。”
 
从对劳动有机构成的考察到对资本有机构成的阐述并不需要迈太大的步子,只要借助于线性方程组即可。
1868年1月初,马克思向恩格斯饶有兴致地说起《资本论》第一卷的“崭新的因素”,他提到,在将工资描述为隐藏在它后面的一种关系的不合理的表现形式时,“在高等数学中常常可以找到这样的公式”。马克思再次寻求与数学的类比。数周后,他反驳了恩格斯对循环公式W-G-W´的质疑:“人们要求新东西——形式和内容都新。”而资产阶级竞争者的类似的努力却受到马克思的贬低:1868年3月6日,他骂苏格兰经济学家亨利·邓宁·麦克劳德是
 
“一个目中无人的蠢驴,他把每一个陈腐的同义反复一是套上代数式,二是用几何图形画出来。”
 
对于上面提到的德国经济学家冯·杜能,马克思的态度则要谨慎和感兴趣得多。马克思认为,他借助于微分学、会计学和实验观察来找出他的封闭的城市—农村模型的最优化利润的做法是“可敬的,同时也是可笑的”。他知道,他们两人存在关键的分歧,杜能支持社会公平,但是与社会主义保持距离。在读了《孤立国》之后,马克思也了解到,他们在一些关键问题上又是一致的,尤其是为找出在经济比例、收益和分配方面普遍有效的规律而采用的孤立抽象的科学方法。杜能
 
“自己就明确地拿这种‘在其他条件相同的情况下’的部分分析法与(部分)微分的数学方法——他也经常使用这种方法——相类比”。
 
这种做法给马克思留下的印象,是否比他自己承认的还要深刻许多?几年后,杜能的遗著管理者海尔曼·舒马赫在给马克思寄了《孤立国》第三版之后又给他寄了自己的书《约翰·亨利希·冯·杜能。研究者的一生》,对此马克思回信表示感谢。
但是,在1872年《资本论》第一卷第二版时出版时,似乎发生了一些值得注意的事情。早在1868年到1870年间,马克思就把早期手稿中的一些“数学”段落,从为第二册撰写的第一总手稿中剔除出去(第二稿,参见MEGA2)。在出版第一卷第二版之际,马克思又对一些“数学”段落进行了修订。首先,他在解释为什么在讲剩余价值率时将不变资本设为零并运用一条“数学上的定律”时,删掉了对微分和英国数学家亨德的援引。他不再认可以前那种(在我看来也是相当令人惊讶的)评注:在殖民地国家,劳动需求与供应规律失效“就像泰勒的公式在微分计算中的一种情况”。如果不了解英国数学家泰勒(1685-1731年)在数学史上的地位,就看不懂这个比喻。马克思把它删掉了。由此他也就在《资本论》中删掉了唯一能够证明他在1878年以前很早就研究了泰勒的级数的线索。马克思在第二版中还删掉了一处与经济学和数学中虚拟的量相关的同逻辑学的“无限判断”进行的类比。此外,他还将“偏离或数学上所谓的‘误差’”改写为“数学上叫做‘误差’的偏离”。这里说是近似值与精确值之间的关系。很可能马克思在出版第二版时也曾经考虑,上面提到过的关于剩余价值率公式的重复论述是否不应该都收入第二版。他最后维持了原样。
《资本论》第一卷第二版出版之前发生了什么?是有人鼓励马克思进行这种显然是系统的修改和删除呢,比如可能是他那位精通数学的朋友赛米尔·穆尔,也有可能是弗里德里希·阿尔伯特·朗格,马克思有朗格的著作《约翰·斯图亚特·穆勒对于社会问题的看法以及社会科学经由凯里实现的所谓变革》杜伊斯堡1865年版,并在1868年读过这部书。在这部书中,朗格对凯里提出了合理的批评:认为“一切科学是统一的”的观点导致这位著名的美国社会学家“经常滥用毫无意义的类比”(第162页)。马克思很可能认为,这一批评也是针对他自己的。或者马克思是不是自己在这期间发现他以前尝试用过而且喜欢用的那些高等数学的比喻很难理解,只具有“借来的说服力”呢?恩格斯在《反杜林论》中对这类比喻做了恰当的质疑——尽管这并不是针对马克思和他本人的:
 
“仅仅知道大麦植株和微积分属于否定的否定,既不能把大麦种好,也不能进行微分和积分” 。
 
为了解释马克思出版第一卷第二版时的这些做法,2014年,我在阿姆斯特丹的马克思恩格斯档案馆中研究了他的数学遗稿。可以说,我为澄清这个谜团迈出了关键的一步。事实是,马克思早在1870到1871年间,也就是在他1870年年中中断了第二册第Ⅱ稿的写作之后,就启用了4册代数学的研究笔记,而人们此前认为,这些笔记本写于1878年以及更晚的时期。一方面,他显然并且正确地对《资本论》手稿中众多的数学表述感到不满意,例如,对剩余价值的推导。我们已经看到,马克思总是希望,这一阐述在数学上要比李嘉图完成得更好。马克思不会对第Ⅱ稿中对再生产图示的晦涩的文字表述感到满意。另一方面,杜能和拉德纳——后者是一位爱尔兰的博学学者,在第二册第Ⅱ稿论述固定资本折旧方面起到了重要的影响——在将数学应用于经济学方面取得的更大的成功,激励了马克思。总之,《资本论》第一卷第二版的这些删改,很有可能是马克思这一系列数学研究产生的重要而合理的结果。
关于马克思的代数学笔记本本身,我在这里只想做出如下内容说明:这些手稿涉及的主要是一位经济学家,当他打算说明经济数值的极限、最大值和最小值比例、变化和组合时,他所需要的数学知识。我想再次强调这些笔记本中关于函数和导函数的概念的大量阐述。除了马克思力求从数学上证明他的论述确实是严谨的之外,他那个时代的数学家也在探究数学的科学 “严谨性”,而像约翰·斯图亚特·穆勒这样的著名社会学家则要求证明数学的“严谨性”,这一事实或许也起到了某种作用。马克思在1870-1871年间,并不是浅尝辄止地涉猎代数学的领域。马克思早期对数学的自负(例如,在1858年他说:“代数迅速地温习一遍”)最终化为了谦虚。至于说马克思将数学研究作为消遣(拉法格的这一说法今天还广为流传),则是无稽之谈。
由于马克思《资本论》第一卷第二版中删去了一些重要的段落,或者说,在1868至1870年间没有将以前文稿中的那些“数学”段落吸收进第二册第Ⅱ稿中,所以他就抹去了他在19世纪60年代从经济学角度研究数学问题的重要痕迹。当恩格斯在马克思逝世后再版《资本论》第一卷、编辑第二册和第三册时,他就已经无法看到和利用这类痕迹。而恩格斯再版和编辑的《资本论》一、二、三卷又是俄文版和德文版全集第23至25卷的基础,从而也构成读者理解接受的文本基础。在MEGA于1983年出版了资本论第一卷第一版之后,英国数学家泰勒的名字才在1867年的120年后,再度和《资本论》一同被提起。
马克思为完成《资本论》第二册的最终稿本而努力的同时,从1878年起,开始比以前更加深入地研究数学。之前,马克思阐述了几十年的经济学的比例关系,经常用算术和几何级数来比喻相互依存的社会经济值的不同发展,并且完成了对超额利润和平均利润的论述,现在他关心的是这些关系的数学基础。俄国科学家柯瓦列夫斯基在1876—1878年间几乎每周都拜访马克思,到莫斯科工作之后仍在暑期定期拜访,他在1909年回忆说,马克思重新
 
“研究数学、微分和积分,以便自觉地对付当时政治经济学中刚出现的数学派。这个学派的领袖……在马克思的时代是杰文斯。”
 
以前,在马克思主义的解释中,柯瓦列夫斯基对资产阶级新古典主义者和英国经济学家威廉·斯坦利·杰文斯的提法被认为是不适当的。人们认为,这两种科学流派是完全针锋相对的。而现在,我们能够而且必须将这位俄国历史学家和社会学家看作一位可以严肃采信的证人了。不仅越来越多的关于马克思研究杰文斯的事实材料浮出水面;这是必然的,因为杰文斯视价值为无用物毕竟针对的是马克思经济学理论的要害。对杜能的持续研究也可能促使马克思丰富其数学基本知识,尤其是微分学方面的知识。他在19世纪70年代比以往任何时候都要深入地研究分裂为若干生产部门的农业的产量潜力,从而研究了级差地租的各种可能性,这一点我已经在关于新陈代谢的讲座中作了证明。
马克思在以前的阐述上添加新的阐述,在他之前的19世纪60年代的摘录上又新增加了比如萨奥利的摘录。除了大量的笔记本之外,他还积累了“零散的、大多完全无序的纸张”,至少“865页写满小字的四分之一大张稿纸”。1881年,他将誊写工整的两篇文章寄给恩格斯评估;其中一篇涉及导函数的概念。他知道,恩格斯在关于《自然辩证法》的研究中也研究了诸如微分学的历史地位此类的数学问题。恩格斯对马克思的阐述大加赞许,马克思非常高兴(插入一句评论:恩格斯还能有什么别的反应么?比如,他更愿意看到《资本论》的创作有决定性的进展?),马克思却粗暴地回应了穆尔对他数学研究的用处的疑问:关于应用他还只字未曾提到。马克思的这个回答究竟是什么意思,在接下来的编辑工作中,我会努力寻找答案。
马克思去世后,恩格斯称赞马克思向他展示的数学文稿有很重要的学术价值。甚至在数学领域,“精通代数”的马克思也有独到的发现。1885年,在《反杜林论》第二版的序言中,恩格斯曾提到要发表这些“极其重要的”论述。在此之前,1884年,拉法格就在《经济学家杂志》上与保尔·勒鲁瓦-博利厄就马克思的剩余价值理论进行争论时,就曾宣布马克思关于微积分的著作将在一部马克思全集中发表。这一消息显然来自恩格斯,他在争论中支持拉法格。
但是,当恩格斯从1885年起开始编辑《资本论》第三卷时,他对待第三册手稿中的“数学”段落却很克制。由于要选择“最成熟”的文本,恩格斯没有考虑马克思在1867—1868年写的关于资本的价值构成、剩余价值率和利润率之间的关系的数学手稿,这些手稿在很多方面值得关注,但是他认为后来的一份写于1875年的手稿超越了这些手稿。恩格斯将后来的这份手稿命名为“用数学方法说明剩余价值率与利润率”,请穆尔做了评估并将穆尔写的摘要和评估用于第三卷第三章。关于马克思在第三册第Ⅰ稿中对剩余价值和利润率之间的差数的详细计算,他仅在一个注中指出。剩余价值和利润率的运动还可以用曲线来表示,恩格斯这么说,就令喜欢数学的读者对马克思的遗著产生了兴趣。
恩格斯曾宣称有可能出版马克思重要的数学著作,他去世后,这一说法给以爱德华·伯恩施坦为中心的社会民主党遗著管理者带来了压力。他们没有找到1881年马克思向恩格斯展示的,恩格斯也提到过的那些关于微分学的少量文本,只能通过1894年出版的《资本论》第3卷来评判恩格斯的称赞。正如我们已经知道的,这一评判的结果是极其糟糕的,我在这里只提到德国统计学家拉迪斯劳斯·冯·鲍特凯维兹,在这方面,他在众多的批评家中是最为专业的:
“作者一点也不熟悉数学的思维方法”,“他完全缺乏对于更复杂一些的数值关系的理解”,“缺乏数学能力”。
鉴于这一困难的形势,直到20世纪20年代,社会民主党遗著管理者们要求由多位数学家和物理学家共同对这些“数学手稿”进行鉴定。这些评估与恩格斯的说法相悖,人们更倾向于认为,这些手稿是“学生的作业”(雷奥· 阿龙斯,德国物理学家),有的用客套话说“从科学史方面来说很有意思”(阿尔伯特·爱因斯坦,德国物理学家,相对论的创始人)。这种不利的反响促使莫斯科马恩研究院的院长达维德·梁赞诺夫在20世纪20年代末决定,暂时不出版马克思的数学手稿而是将之放进保险箱。而此前,德国统计学家埃米尔·龚贝尔受梁赞诺夫的委托,已将其中部分手稿准备就绪可以发表了,他与鲍特凯维兹和英国著名哲学家和数学家伯特兰·罗素关系很好,带着爱因斯坦的推荐信来到了莫斯科。。1931年,在那场臭名昭著的意识形态清洗运动中,这些文稿被在保险箱中发现,据说是在研究院一位爱国的同事的指点下找到的。当时,恐惧、歇斯底里和相互揭发的气氛笼罩着研究院。梁赞诺夫被指控,为了社会法西斯主义、社会民主主义的马克思歪曲者的利益,而对共产主义的世界运动隐匿了重要的马克思文本。这一荒谬的说法来自被意识形态狂热冲昏头脑的检察官,并最终成为了导致梁赞诺夫被处决的罪名之一。
1933年和1956年,《数学手稿》的部分内容以俄文出版,1968年,对手稿从唯物辩证法的角度加以注释之后,马克思的《数学手稿》(德俄双语对照本)首次在莫斯科出版。关于导函数和微分的“相对独立”的草稿全文发表,另一些有较长的节录,而对摘录则大多仅加以描述。“主要的文本”很快被译成多种语言。还出版了两种彼此竞争的中文译本(1971年上海版和1975年北京版)。这些译本都因袭了莫斯科版本中的某些严重的错误,因为莫斯科版没有利用阿姆斯特丹的原始手稿,而是利用了20世纪20年代的一份质量很差的复制本。所有评论都以马克思恩格斯全集德文版的信息为基础,认为这些文本产生于1878—1881年。这就造成了这样一种看法:这是马克思研究兴趣中独立的对象领域,尤其是和唯物辩证法有关。只有《数学手稿》德文版(1974年)认为马克思对数学的研究始终与经济研究相关,当然,这仅限于从马克思恩格斯全集德文版中已出版的文献中能获得的信息。在《马克思恩格斯全集》的德文版、英文版和俄文版中,迄今仍然没有出版任何马克思的数学著作。
《马克思恩格斯全集》历史考证版编辑马克思“数学手稿”的最后工作已经中断了两次,尚未完成。在这件事上,我提到过的这些事实、讨论、争议和猜测,当然还有其他许多因素,都产生了某些影响。如果能查明这些文本的写作时间、先后顺序及其复杂的背景,从而可以证明,马克思从1857年起就不是零星地研究纯数学,而是在撰写经济学著作时系统地研究数学的可应用性,那么,马克思在这方面的形象会发生相当重要的改变,马克思关于微分学的文本就完全可能从专门研究纯数学的聚光灯下摆脱出来,并提出这样的问题:马克思是要成为一个数学经济学家吗?拉法格在谈到马克思如何看待数学的问题时所说的显然是正确的,
“他还认为,一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到了真正完善的地步。”
显然,马克思对于在经济学中应用数学的看法就像他的经济学理论本身一样,也不是直线发展的。马克思对数学的亲近可能是随着他将自己的经济学观点提升为再生产理论才自然发展起来的。                                                      
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